책 이야기

가방에 붉은 색 원반 1장과 푸른 색 원반 1장이 있다. 게임에서 원반 1장을 랜덤하게 꺼내고 색을 기록한다. 각 회차가 끝나고 나면 원반을 다시 가방에 넣고 붉은 색 원반 1장을 추가한 후, 원반 1장을 랜덤하게 꺼낸다.

참가자는 1파운드를 내고 경기에 참가하고, 게임이 끝났을 때 푸른 색 원반이 붉은 색 원반보다 많은 경우 승리한다.

게임이 4회차로 구성된 경우, 참가자가 승리할 확률은 정확하게 11/120이고, 주최측이 손실을 입지 않으려면 할당해야 하는 최대 상금은 10파운드가 되어야 한다. 모든 상금은 파운드 단위로만 되어야 하고 참가비 1파운드가 포함되므로, 예시에서 참가자가 획득하는 돈은 9파운드가 된다.

게임이 15회차로 구성되는 경우 할당해야 하는 최대 상금을 구하시오.

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확률과 조합을 이용하여 해결하는 문제이다.

예시를 조금 설명하면, 참가자가 승리하는 경우는 파란색 4장을 꺼낸 경우와 3장을 꺼낸 경우이다. 그러면 전체 가능한 경우 120(2*3*4*5) 중 파란색 4장을 꺼낸 경우는 1회이며(1/2*1/3*1/4*1/5), 3장을 꺼낸 경우는 10회(처음 나올 경우 1회, 2번째 2회, 3번째 3회, 4번째 4회)가 된다.

15회차 게임에서 승리할 경우는 전체 경우 20,922,789,888,000(2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16) 중 파란색을 8장 이상 꺼낸 경우를 계산하면 된다. 위 예시 설명에서 나오듯이 파란색을 꺼내는 경우는 1, 붉은색을 꺼내는 경우는 '해당 차수 원반 전체-1'이 된다.

붉은 색인 경우를 대상으로 계산을 하면 되므로, 붉은 색이 0장에서 7장인 경우를 계산하는 반복문을 만들고, 각 반복에서 가능한 조합을 생성해서 조합의 갯수를 합하는 형태로 구성하였다. 참고로, 붉은색 공이 2개인 경우 2개를 곱하는 방식을 통해 조합의 전체 갯수를 구하고, 조합의 갯수를 합해야 한다.

그리고, 참가자가 우승할 조합 갯수에 상금을 곱해서 전체 경우보다 작으면서 가장 큰 상금을 구하면 된다.

조합이나 확률을 잘 이해하면 좀 더 짧은 코드로 구현 가능했을 것 같은데, 기초만 이해하는 상황에서는 이 구성이 최선이었고 빠른 시간 내에 답을 구할 수 있었다. 난이도는 35%였지만 적성에 맞는 문제인지 어렵지 않게 해결 가능했다.

512는 각 자리수의 합을 거듭제곱한 것과 같다는 점에서 재미있는 수이다: 5+1+2=8이고 8³=512이다.

이러한 속성을 가진 다른 수는 614656=28⁴이다.

an을 이런 수열의 n번째 숫자라고 정의하고,  a_n은 두자리 이상의 숫자가 되어야 한다.

a₂=512이고 a₁₀=614656임을 알려준다.

a30을 찾으시오.

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처음에는 brute force에 가까운 방법으로 접근했는데, 시간 문제가 생겼다. 즉, 10부터 1씩 키워나가며 자리수의 합을 구하고, 자리수의 합에 대해 거듭제곱을 하면서 원래 숫자가 만들어지는지 확인하는 방법이었는데, 예시로 제공한 10번째 숫자까지는 비교적 빠른 시간 내에 구했지만, 그 이후로는 숫자가 기하급수적으로 커지면서 10분 이상이 지나도 답이 나오지 않는 상황이 되었다.

그래서, 다른 사람은 어떤 식으로 접근했는지 찾아봤는데, 파이썬이 큰 수를 다루는 데 유리한 점을 이용하여 해결했다는 것이 있어서 그것을 참조해서 해결했다. for 반복문 2개를 이용해서 일정크기 이내의 밀과 지수에 대한 거듭제곱을 만들어서, 거듭제곱 각 자리수의 합이 밑과 동일한 경우를 구하는 방법이다. 그 이후에는 정렬하고, 30번째 요소를 찾으면 되는 것이다.

만약, 찾은 것이 정답이 아니면 밑을 충분히 크게 만들지 않았기 때문에 밑의 반복범위를 키우고, 그래도 안되면 거듭제곱의 반복범위를 키우는 방법으로 접근하면 어렵지 않게 구할 수 있을 것이다. 생각하기에 따라 상당히 위험한 방법의 brute force이지만 파이썬이 큰 숫자를 다루는 데 문제가 없기에 가능한 방법이었던 것 같다.

어떤 양의 정수 n은 [n+reverse(n)]의 모든 숫자가 홀수로만 이뤄지는 속성이 있다. 예를 들어, 36+63=99이고 409+904=1313이다. 이런 숫자를 가역숫자(reversible number)라 한다. 36과 63, 409와 904는 가역숫자이다. 0으로 시작하는 경우는 n, reverse(n)에 허용되지 않는다.

1천 이하에는 120개의 가역숫자가 있다.

10억(10⁹)이하에는 몇 개의 가역 숫자가 있는가?

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문제에서 0으로 시작하는 경우를 허용하지 않는다고 했으므로, 끝이 0인 숫자는 가역 여부를 확인할 필요가 없다. 프로그램의 구성은 비교적 간단한데, 10억까지 계산을 해야되기 때문에 시간이 많이 소요된다. 이것을 줄일 방법이 있는지 모르겠지만 일단 시도해 봤다.

10억까지 반복하면서, 각 숫자의 순서를 바꾸고 더해서, 모든 자릿수가 홀수인지 확인하면 된다. 10이하의 숫자는 무조건 짝수가 되기 때문에 고려하지 않았다. 1억까지 구하는데 10분 넘는 시간이 걸렸고, 숫자가 커지면서 조금씩 시간이 늘어나 10억까지는 100분 넘게 걸려 답을 구할 수 있었다.

가만히 생각해 보니, 10이하 숫자를 고려하지 않았던 것처럼, 9자리 숫자도 n+reverse(n)을 하면 모두 홀수가 되지 않는다. 가운데인 5번째 숫자는 같은 숫자를 2번 더하기 때문에 무조건 짝수가 되고, 그것을 막으려면 6번째 숫자가 10이 넘어야 한다. 그러면 4번째 숫자도 10이 넘어서, 7번째 숫자가 홀수이면 3번째 숫자도 홀수인 경우 4번째 숫자에서 1이 넘어오기 때문에 (3번째와 7번째) 둘 중 하나는 짝수가 될 수 밖에 없다. 그러다보니, 전체 연산시간의 90% 이상을 차지하는 1억 이상의 숫자 모두가 가역숫자가 되지 못하는데 계산하느라 시간을 낭비한 꼴이 되어버렸다.

다음 수식에서 x, y, n은 양의 정수이다.

1/x+1/y=1/n

n이 4일 때, 다음의 3개 답안만 있다:

1/5+1/20=1/4

1/6+1/12=1/4

1/8+1/8=1/4

서로 다른 해결책이 1,000개를 넘는 가장 작은 값 n은 얼마인가?

주의: 이 문제는 문제 110의 쉬운 버전이므로, 이 문제를 먼저 해결하기를 강력하게 권고함

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다른 분이 이야기한 아이디어(양변에 nxy를 곱해서 분모 없애기)를 참고해서 해결할 수 있었다.

문제에 나오는 공식의 분모를 없애기 위해 간단히 수학을 적용해서 양변에 xyn을 곱하면 ny+nx=xy가 된다. 그리고, 예시를 보면 짐작 가능하겠지만 n이 x, y보다는 작기 때문에 x를 n+a, y를 n+b로 바꾸면 n(n+b)+n(n+a)=(n+a)(n+b)가 된다. 이를 풀면 n²+nb+n²+na=n²+na+nb+ab가 되고 양변을 정리하면 n²=ab가 된다.

이 특성을 이해하고, 예시를 다시 보면 x의 값이 n=4일 때, n보다 1, 2, 4만큼 큰 것을 알 수 있다. 이것이 4의 약수이기 때문에, 솔루션이 1000개를 넘는 것은 약수가 1000개를 넘는 경우와 같은 것으로 이해되었다. 그래서, 먼저 풀었던 243번 문제에서 적용한 소수의 곱을 대상으로 배수로 키워나가면서 약수가 1000개 이상인 경우를 찾는 방법을 적용했는데, 예상과는 달리 오답이었다.

n²=ab를 다시 생각해보니, n의 약수가 아니라 n²의 약수 중 n이하의 값인 것들을 찾으면 되는 것이었다. 예시로 나온 4가 너무 작은 수이면서 2의 배수여서 다양한 경우가 나오지 않아 잘못된 유추를 하게 되었던 것이다.

약수를 구하는 함수를 n제곱을 입력값으로 해서 n이하의 값만 구하도록 바꾸고 나니 빠른 시간 내에 답을 구할 수 있었다.

r을 (a-1)ⁿ+(a+1)ⁿ을 a²으로 나누었을 때 나머지로 하자.

예를 들어, a=7이고 n=3일 때, r=42가 된다(6³+8³=728≡42 mod 49). 그리고 n 값이 바뀌면 r도 바뀌게 된다. 하지만, a=7일 때 r의 최대값인 r_max=42이다.

3≤a≤1000일 때, r_max의 합계(∑r_max)를 구하시오.

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어렵지 않아 보이지만 실행 시간이 많이 소요되는 문제이다. 나누는 수가 a²이기 때문에 나머지를 확인하기 위해 검증하는 범위를 a²번까지 설정해야 했기 때문이다.

그리고, 나머지 함수의 특성을 살려서 적용해야지 문제에서 제시한 그대로 코딩했을 때에는 숫자가 기하급수적으로 커지면서 실행시간이 매우 많이 필요하게 되었다.

나머지 함수의 곱셈 특징((a*b)%c=(a%c)*(b%c))을 활용하여, 거듭제곱의 경우 분산해서 계산하도록 코드를 개선했다. 즉, a⁷=a*a²*a⁴, a⁹=a*a⁸과 같은 형태로 나누고, 각각에 나머지 함수를 적용해서 숫자가 최대한 커지지 않도록 만들었다.

그렇게 개선했어도 실행시간은 많이 필요했으며(100까지 7초, 200까지 58초, 300까지 173초, 400까지 360초, 500까지 628초, 600까지 942초, 700까지 1365초, 800까지 1777초, 900까지 2415초, 1000까지 3043초로 총 3시간 필요), 이 방식보다는 좀 더 빠른 형태의 수학에 기반한 해법이 있을 것 같다.