책 이야기

512는 각 자리수의 합을 거듭제곱한 것과 같다는 점에서 재미있는 수이다: 5+1+2=8이고 8³=512이다.

이러한 속성을 가진 다른 수는 614656=28⁴이다.

an을 이런 수열의 n번째 숫자라고 정의하고,  a_n은 두자리 이상의 숫자가 되어야 한다.

a₂=512이고 a₁₀=614656임을 알려준다.

a30을 찾으시오.

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처음에는 brute force에 가까운 방법으로 접근했는데, 시간 문제가 생겼다. 즉, 10부터 1씩 키워나가며 자리수의 합을 구하고, 자리수의 합에 대해 거듭제곱을 하면서 원래 숫자가 만들어지는지 확인하는 방법이었는데, 예시로 제공한 10번째 숫자까지는 비교적 빠른 시간 내에 구했지만, 그 이후로는 숫자가 기하급수적으로 커지면서 10분 이상이 지나도 답이 나오지 않는 상황이 되었다.

그래서, 다른 사람은 어떤 식으로 접근했는지 찾아봤는데, 파이썬이 큰 수를 다루는 데 유리한 점을 이용하여 해결했다는 것이 있어서 그것을 참조해서 해결했다. for 반복문 2개를 이용해서 일정크기 이내의 밀과 지수에 대한 거듭제곱을 만들어서, 거듭제곱 각 자리수의 합이 밑과 동일한 경우를 구하는 방법이다. 그 이후에는 정렬하고, 30번째 요소를 찾으면 되는 것이다.

만약, 찾은 것이 정답이 아니면 밑을 충분히 크게 만들지 않았기 때문에 밑의 반복범위를 키우고, 그래도 안되면 거듭제곱의 반복범위를 키우는 방법으로 접근하면 어렵지 않게 구할 수 있을 것이다. 생각하기에 따라 상당히 위험한 방법의 brute force이지만 파이썬이 큰 숫자를 다루는 데 문제가 없기에 가능한 방법이었던 것 같다.

Comparing two numbers written in index form like 2¹¹ and 3⁷ is not difficult, as any calculator would confirm that 2¹¹ = 2048 < 3⁷ = 2187.

However, confirming that 632382⁵¹⁸⁰⁶¹ > 519432⁵²⁵⁸⁰⁶ would be much more difficult, as both numbers contain over three million digits.

Using base_exp.txt (right click and 'Save Link/Target As...'), a 22K text file containing one thousand lines with a base/exponent pair on each line, determine which line number has the greatest numerical value.

NOTE: The first two lines in the file represent the numbers in the example given above.

지수로 표현된 두 수 2¹¹과 3⁷을 비교하는 것은 어렵지 않다. 계산기를 이용하면 2¹¹ = 2048 < 3⁷ = 2187을 확인할 수 있다.

그러나, 3백만 자릿수 이상이 되는 두 수가 632382⁵¹⁸⁰⁶¹ > 519432⁵²⁵⁸⁰⁶ 인 것을 확인하는 것은 상당히 어렵다.

1천 개 이상의 밑과 지수 쌍이 각 행에 있는 22K 크기의 텍스트 파일 base_exp.txt (오른쪽 클릭하고 다른 이름으로 링크 저장) 중 가장 큰 값을 가지는 숫자를 찾으시오.

주의: 파일의 첫 두 줄은 위의 예시에 있는 숫자이다.

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정직하게 프로그래밍 했더니 역시나 OverflowError: math range error라는 에러메시지를 보게 되었다. 급격하게 커지는 지수를 따라가지 않고 계산할 방법은 이제는 까맣게 잊어버린 log를 다시 찾아보는 방법밖에 없어 보인다.

로그의 지수법칙(loga^b=bloga)을 이용하여 동일한 밑인 상황에서 base_exp 파일의 밑과 지수를 로그에 대입하면(문제의 예시에서 518061*log632382와 525806*log519432를 비교하는 형태) 어렵지 않게 해결 가능하다.

The 5-digit number, 16807=7⁵, is also a fifth power. Similarly, the 9-digit number, 134217728=8⁹, is a ninth power.

How many n-digit positive integers exist which are also an nth power?

5자리 수인 16807은 또한 5제곱 수이기도(7⁵) 하다. 비슷하게, 9자리 수인 134217728은 9제곱 수이다(8⁹).

n자리 제곱수이기도 한 n자리 양의 자연수는 몇 개 있는가?

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숫자에서 범위를 명확하게 얘기하지 않아 고민하는 시간이 필요했다. 답을 구하는 알고리즘 자체는 각 숫자의 제곱수를 구해서(5의 경우 5, 25, 125, 625, ...), 각 숫자가 각 자리의 제곱수에 해당하는지 확인하면 된다. 예로 든 5의 경우 5의 1제곱은 5이므로 1자리 수, 5의 2제곱은 25로 2자리 수, 5의 3제곱은 125로 3자리 수이지만, 5의 4제곱은 625로 4자리 수가 아니다.

처음에는 n자리를 한자리 수로 생각해서 9의 9제곱까지만 구했는데 정답이 아니었다. 곰곰히 생각해 보니 상한을 두지 말고 구해야 하는 것이었고, 밑에 해당하는 숫자는 10의 1승은 2자리 수(10)이므로 9까지만 계산하면 되는 것이었다. 그렇게 코드를 수정하고 나서 정답을 구할 수 있었다.