책 이야기

In the 5 by 5 matrix below, the minimal path sum from the top left to the bottom right, by only moving to the right and down, is indicated in bold red and is equal to 2427.

Find the minimal path sum from the top left to the bottom right by only moving right and down in matrix.txt (right click and "Save Link/Target As..."), a 31K text file containing an 80 by 80 matrix.

아래의 5x5 행렬에서, 오른쪽과 아래로만 갈 수 있을 때 왼쪽 위부터 오른쪽 아래까지 가는 최소 경로값은 굵은 붉은색으로 표시된 것과 같으며 2427이다.

80x80 행렬이 있는 31K 텍스트 파일 matrix.txt (우클릭하고 "다른 이름으로 링크 저장")을 오른쪽과 아래로만 갈 수 있을 때 , 왼쪽 위부터 오른쪽 아래까지 가는 최소경로 합계를 구하시오.

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파일을 다루는 것에 익숙하지 않아서 파일을 열고, 내용을 읽고, 쉼표로 분리하고, 문자열을 숫자로 바꾸는 과정 하나하나를 다시 기억을 살려가며 해야 했다.

처음에는 단순하게 갈 수 있는 두 경우 중 작은 경우로 가는 것을 0,0과 79,79에서 시작하도록 해봤는데 오답이었다.

그래서, 생각해보니 방향이 제한적이기 때문에 조금은 단순하게 접근 가능할 것 같았다. 0,0부터 시작해서 차례로 이전과의 합계를 기록해 나가는 방식으로 하면, 79,79에 전체 합계가 기록되는 것이다. 각 자리에서는 자신에게 올 수 있는 2가지 경우의 합계 중 작은 것을 선택해 나가는 방식으로 하는 것이다.

이후 문제에까지 확장하여 적용하는 것은 쉽지 않을 것 같았는데, 일단 이 문제는 이 방식으로 해결 가능했다.

By starting at the top of the triangle below and moving to adjacent numbers on the row below, the maximum total from top to bottom is 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

That is, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Find the maximum total from top to bottom in triangle.txt (right click and 'Save Link/Target As...'), a 15K text file containing a triangle with one-hundred rows.

NOTE: This is a much more difficult version of Problem 18. It is not possible to try every route to solve this problem, as there are 2⁹⁹ altogether! If you could check one trillion (10⁹⁹) routes every second it would take over twenty billion years to check them all. There is an efficient algorithm to solve it. ;o)

아래 삼각형의 정상에서 시작하여 다음 줄의 인접한 숫자로 이동할 때, 정상에서 끝까지 가장 큰 합계는 23이다.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

즉, 3 + 7 + 4 + 9 = 23 이다.

100개 줄이 있는 15K 크기의 triangle.txt (우클릭하고 "(으)로 링크 저장")에서 정상에서 끝까지 가장 큰 합계를 구하시오.

주의: 이것은 Problem 18의 훨씬 어려운 버전이다. 2⁹⁹ 개의 경로가 있으므로, 이 문제를 해결하기 위해 모든 경로를 확인하는 것은 불가능하다! 1초에 1조(10⁹⁹)개의 경로를 검사할 수 있으면 모든 경로를 검사하는 데 200억 년 이상 소요된다. 이 문제를 풀기 위해 더 효율적인 알고리즘이 필요하다. ;o)

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18번 문제를 해결할 때 사용한 방법으로 해결하였다. 문제는 top-down 방식으로 물어봤지만, 해결은 bottom-up 방식으로 아래에서 올라가는 전략을 선택하는 것이다.

예를 들어 3번째 줄을 기준으로 보면, 2는 8과 5중 8이 크므로 둘을 합한 10, 4는 5와 9중 9가 크므로 13, 6은 9와 3중 9가 크므로 15, 이런 식으로 정상에 도달할 때까지 계산해 나가면 가장 큰 경로를 적은 시간으로 구할 수 있다.

By starting at the top of the triangle below and moving to adjacent numbers on the row below, the maximum total from top to bottom is 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

That is, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Find the maximum total from top to bottom of the triangle below:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

NOTE: As there are only 16384 routes, it is possible to solve this problem by trying every route. However, Problem 67, is the same challenge with a triangle containing one-hundred rows; it cannot be solved by brute force, and requires a clever method! ;o)

아래 삼각형의 정상에서 시작해서 아래에 있는 다음 줄의 인접한 숫자로 내려갈 때, 정상에서 바닥까지 최대 합계는 (굵게 표시된) 23이다.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

즉, 3 + 7 + 4 + 9 = 23이다..

아래에 있는 삼각형의 정상에서 바닥까지 최대 합계를 구하시오:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

주의: 여기에는 16384개 경로밖에 없기 때문에, 모든 경로를 시도하는 방법으로 해결할 수 있다. 그러나, 100개 행이 있는 삼각형에서 동일한 방식으로 답을 구하는 67번 문제는 브루트 포스(brute force) 방법으로 해결할 수 없고, 현명한 방법이 필요하다.

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모든 경로를 한번씩 다 운영해보고 최대값을 구하는 것이 가장 간단한 방법인데 문제의 마지막에서 다른 방법을 찾아보기를 권하고 있어 고민을 했던 문제이다.

고민해서 적용한 방법은 위에서 내려오는 방법으로 계산하는 것이 아니고, 밑에서 위로 올라가면서 계산하면 16384개 경로를 비교하는 것 보다는 조금 적은 복잡도를 가지는 방법이 가능했다. 14번째 행 첫번째 숫자인 63에 더해질 수 있는 숫자는 4와 62인데 이 중 더 큰 62를 더하는 방법을 반복해 나가면 숫자의 갯수만큼 반복해 나가는 것으로 답을 구할 수 있다.