분자가 분모보다 작은 양의 분수를 진분수(proper fraction)라 한다.
어떤 분모 d에 대해 d-1개의 진분수가 있다. 예를 들어, d=12일때 진분수는 다음과 같다.
1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12.
약분되지 않는 분수를 탄력분수(resilient fraction)이라 부르자.
특정 분모 d에 대해 약분되지 않는 분자의 비율을 R(d)라 정의한다. 예를 들어, R(12)=4/11이다.
실제로, d=12는 R(d)<4/10인 가장 작은 분모이다.
R(d)<15499<94744인 가장 작은 분모 d를 구하시오.
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약분되지 않는 분수를 학교에서는 기약분수(inreducible fraction)로 배웠는데, 여기에서는 무슨 차이가 있는지 모르겠지만 탄력분수로 정의하고 있다.
처음에는 모든 숫자를 대입해서 계산을 시도했는데, 시간이 너무 많이 걸렸다. 기약분수가 적은 경우를 찾는 형태여서 생각해보니 69번 문제를 변형한 문제처럼 보였다.
일단 많이 나눠주는 수의 곱으로 분모가 되어야 작아질 것이기 때문에 처음에는 짝수를 대상으로 시도했는데, 결과값 패턴을 보니 2와 3의 공배수인 6의 배수가 값이 작은 것이 보였다. 가만히 생각해보니 작은 소수의 곱으로 구성되는 숫자일수록 나눠지는 숫자가 많아 정답에 근접하게 나오게 되는 패턴을 찾았다.
그래서, 일단은 2에서 시작해서 나오는 소수의 곱을 대상으로, 배수를 5번씩 계산해서 정답보다 낮은 경우를 찾도록 했다.(예를 들어, 2의 경우 2,4,6,8,10, 2와3의 곱인 6의 경우 6,12,18,24,30, 2와3과5의 곱인 30의 경우 30,60,90,120,150 등을 계산하도록 했다)
소수의 곱은 생각보다 기하급수로 커졌고, 그 덕분에 정답 또한 생각했던 것 보다는 엄청 큰 값이었고, 답에 근접한 값만 계산하게 했어도 상당한 시간이 필요했다.