모든 제곱근은 연분수로 나타낼 때 주기적이며, 위 형태로 나타낼 수 있다:
예를 들어, √23을 생각해 보자:
이것을 반복하면 위와 같은 확장을 구하게 된다:
이 과정은 위와 같이 요약될 수 있다:
이 순서가 반복되는 것을 볼 수 있다. 간결함을 위해, (1,3,1,8)이 무한히 반복하는 것을 나타내도록 √23=[4; (1,3,1,8)]로 표기한다.
처음 10개의 (무리수인) 제곱근을 연분수로 나타내면:
√2=[1; (2)], 주기=1
√3=[1; (1,2)], 주기=2
√5=[2; (4)], 주기=1
√6=[2; (2,4)], 주기=2
√7=[2; (1,1,1,4)], 주기=4
√6=[2; (1,4)], 주기=2
√10=[3; (6)], 주기=1
√11=[3; (3,6)], 주기=2
√12=[3; (2,6)], 주기=2
√13=[3; (1,1,1,1,6)], 주기=5
N이 13 이하일 때, 정확히 4개 연분수의 주기가 홀수이다.
N이 1만 이하일 때 주기가 홀수인 연분수는 몇 개인가?
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뒤에 나오는 여러 문제에서 연분수 개념을 응용해야 빨리 풀 수 있기 때문에 해결의 필요성을 많이 느끼고 있던 것이다. 다시 이 문제를 풀면서도 어렵게 느껴지는 것이, 신기하게도 수기로 연분수의 반복을 계산하면 따라가지는데, 그것을 프로그램에 반영하려 하면 이상하게 논리가 꼬이는 것이다. 몇 시간을 들여다보고 다른 방법으로 접근하는데도 이상하게도 논리가 꼬이면서 진행이 되지 않는다.
논리가 꼬이게 된 이유 중 하나는, 위 √23 예시 a1의 3번째에서 7과 14를 약분하는 것과 4번째에서 그냥 계산하면 나오는 1+(√23+1)/2를 음수로 바꿀 때 2+(√23-1)/2가 아니고 3+(√23-3)/2이 되는가였는데, 아무리 고민해도 해결되지 않아 인터넷의 힘을 빌리기로 했다.
문제를 해결했던 다른 사람이 이용한 앞 숫자, 분모, 분자를 구하는 공식을 이용해서 해결할 수 있었다. 다만, 연분수 문제가 뒤에도 많이 연관되어 있는데 이해하지 못하고 기계적으로 해결을 해야할 상황이 되어서 조금 슬펐다.