루트2는 무한하게 반복되는 분수로 표현될 수 있다.
처음 4번의 반복을 확장하면 위 그림과 같다:
다음 3번 확장은 99/70, 239/169, 577/408이지만, 8번째 확장은 1393/985이며 분자의 자릿수가 분모 자릿수보다 크게 되는 첫 숫자이다.
처음 1천번 확장에서 몇 개의 분수에서 분자가 분모보다 자릿수가 더 큰가?
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이 문제에서 루트2를 구하는 과정을 잘 이해했으면, 뒤에 연계되어 나오는 연분수 문제들을 쉽게 해결할 수 있었는데 너무 기계적으로 간단하게 해결해버렸다.
가만히 살펴보면 분모는 직전 분모x2와 2번 직전 분모를 합한 값이며, 그 때 분자는 1을 빼면 직전 분모 값이 되는 것이 보였다. 예를 들어, 3/2, 7/5 다음 수의 분모는 5x2+2=12이며, 분자는 1을 제외하면 5가 되므로 1+5/12=17/12가 된다.
이 과정을 반복하면서 자릿수가 차이나는 경우를 찾는 것으로 간단하게 해결되었다.