If p is the perimeter of a right angle triangle with integral length sides, {a,b,c}, there are exactly three solutions for p = 120.
{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}
For which value of p ≤ 1000, is the number of solutions maximised?
각 면이 정수 길이 {a, b, c}를 가지는 직각 삼각형의 둘레를 p라고 하면, p가 120일 때 정확하게 3가지 경우({20,48,52}, {24, 45, 51}, {30,40,50})만 있다.
p ≤ 1000일 때 p가 얼마인 경우에 가장 많은 경우의 직각 삼각형이 가능한가?
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직각 삼각형의 속성으로는 a2+b2=c2가 있고, 문제에서 p=a+b+c로 되어 있는 전제 조건을 이용하여 해결해야 한다.
가장 긴 변을 c라고 할 때, a와 b는 같을 수도, 다를 수도 있다. 이 중 b가 더 클 수 있다고 생각하면 a≤b 관계가 생긴다. 그리고, c는 피타고라스의 정리에 의해 어떤 형태로든 a, b 보다는 크게 된다. 설정한 관계대로 정리하면 a≤b<c가 된다. 세 숫자가 모두 자연수인 직각삼각형 중 가장 작은 것은 3, 4, 5이고, 이것의 둘레는 12이다. 그리고, 보수적으로 계산해도 a, b 두 숫자 중 하나의 크기는 전체 둘레길이의 절반이 될 수 없다.
b를 기준으로 4부터 499까지 반복하면서, b보다 같거나 작은 a를 1부터 b까지 반복해서 피타고라스 정리에 따라 c를 구하고, c가 자연수이고, a+b+c가 1000이하인 경우를 모으면 된다.