책 이야기

If a box contains twenty-one coloured discs, composed of fifteen blue discs and six red discs, and two discs were taken at random, it can be seen that the probability of taking two blue discs, P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2.

The next such arrangement, for which there is exactly 50% chance of taking two blue discs at random, is a box containing eighty-five blue discs and thirty-five red discs.

By finding the first arrangement to contain over 10¹² = 1,000,000,000,000 discs in total, determine the number of blue discs that the box would contain.

파란색 디스크 15장, 빨간색 디스크 6장으로 구성된 21장의 디스크가 있는 박스에서, 디스크 2장을 랜덤하게 선택하는 경우 2장의 파란색 디스크를 선택할 확률은 P(BB)=(15/21)x(14/20)=1/2이다.

동일한 구성으로 2장의 파란색 디스크를 랜덤하게 선택할 확률이 50%인 경우는 85장의 파란색 디스크와 35장의 붉은색 디스크로 구성된 경우이다.

총 10¹² = 1,000,000,000,000장 이상 디스크가 있을 때 동일한 구성으로 2장의 파란색 디스크를 랜덤하게 선택할 확률이 50%가 되는 경우는, 파란색 디스크가 몇 장 있을 때인가?

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(중학생 이하 수준이지만) 갈수록 수학문제가 되고 있는 상황인데, 근의 공식을 이용하여 해결하기로 결정했다. 이전에 √를 바로 사용하면서 소숫점이 이하 자리 숫자가 있음에도 값이 너무 작아 정수로 판정되는 오류를 겪었기 때문에, 큰 수이지만 일단 제곱수인 상태에서 적용해 보기로 했다.

확률이 1/2일 때 총 디스크 수를 c, 파란색 디스크 수를 x라고 하면, P(BB)=(x/c)*((x-1)/(c-1))=1/2이며, 이것을 전개하면 2x²-2x=c(c-1), 2x²-2x-c(c-1)=0이 된다. 여기에 근의 공식을 적용하면 x=(2+(4+4*2*c(c-1))**0.5)/2*2가 되고, 루트 기호 부분 기준으로 정리하면 (4+8c(c-1))**0.5=4x-2이 되고, 양쪽을 제곱하여 루트를 없애면 1+2c(c-1)=(2x-1)²가 된다. 수학 기호를 html로 표기하는 방법이 익숙하지 않아 가독성이 나쁘게 적었지만 이와 같은 형태로 방정식을 구할 수 있다.

여기에서 c는 1조에서 시작하고, x는 좌변의 값보다 조금 작은 값이 나올 값에서 시작해서 양 변이 같을 때까지 c와 x값을 계속 키우면서 찾는 작업을 했다. 양변을 크게 보면 8*c^2와 16*x^2가 있어서 x의 시작값을 1부터 하지 않고 c/√2부터 시작해서 추적했다. 실행이 생각보다 오래 걸려서 상황을 보니 이 방법으로는 답을 구할 수 없을 것 같았다.

먼저 방법으로는 해결되지 않아 인터넷을 검색해 보니, 연분수와 비슷하게 x, c의 이전값을 통해 새 값을 찾을 수 있다고 되어 있었다. 문제에서는 (x, c) 값이 (15, 21), (85, 120)인 경우가 있었는데, (3, 4)인 경우에도 확률이 파란색 2개가 연속으로 나올 확률은 1/2가 된다.

이 (x,c)값 3쌍을 이용하여 x, c값의 다음 항에 대한 일차방정식을 유추해봤고(xn=3x+2c-2, cn=4x+3c-3), 그 공식으로 만든 숫자로 다음 값인 (493, 697) 또한 파란색 2개가 나올 확률이 1/2임을 확인해서 해당 공식을 통해 빠른 시간 내에 답을 구할 수 있었다.

일차방정식을 빨리 유추하기 위해 엑셀을 사용했는데, 엑셀로는 12자리 이상 숫자를 확인할 수 없다는 것 또한 알게 되었다.

Pentagonal numbers are generated by the formula, P_n=n(3n−1)/2. The first ten pentagonal numbers are:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

It can be seen that P₄ + P₇ = 22 + 70 = 92 = P₈. However, their difference, 70 − 22 = 48, is not pentagonal.

Find the pair of pentagonal numbers, P_j and P_k, for which their sum and difference are pentagonal and D = |P_k − P_j| is minimised; what is the value of D?

오각수는 P_n=n(3n−1)/2 공식에 따라 생성된다. 처음 10개 오각수는 다음과 같다:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

P₄ + P₇ = 22 + 70 = 92 = P₈임을 알 수 있다. 그러나, 둘의 차이인 70 − 22 = 48은 오각수가 아니다.

두 수의 합과 차이가 모두 오각수이고 D = |P_k − P_j| 가 최소화되는 두 오각수 P_j and P_k를 찾으시오. D의 값은 얼마인가?

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이 문제는 신기하게도 어렵지 않게 해결했는지 방법은 기억이 나지 않으면서, 어떻게 접근해야 할 지 난감한 것을 보니 상상하지 못할 단순하고 비효율적인 방법으로 해결했던 것 같다.

가능한 접근으로는, 오각수 리스트를 만들면서 새로운 오각수를 추가하면 기존 리스트의 숫자와 차이를 비교해 오각수가 되는 경우를 찾고 해당 경우에 합이 오각수인지 판별해 나가는 방법으로 답을 찾는 것이다. 예를 들면, (1, 5)가 있는 오각수 리스트에 다음 오각수인 12를 추가하고, 기존 오각수와 차이 11(12-1), 7(12-5)을 차례로 오각수인지 확인하고 만약 오각수인 경우 두 수의 합이 오각수인지 검증한다.

많이 비효율적이지만 답을 구했던 것 같고, 오각수인지 판별하는 것에는 33번 문제를 해결할 때 잠깐 언급했던 근의 공식을 이용해서 오각수 공식 P_n=n(3n−1)/2을 n 기준으로 바꾸면, n=(1+(1+24p)**0.5)/6이 된다. 이것을 활용하여 간단하게 확인 가능하다.