프로젝트 오일러의 문제를 100번까지 모두 해결하는 것을 목표로 진행했는데, 몇 문제는 아이디어가 잘 떠오르지 않아 아직 해결하지 못했다. (특히 68번은 문제 자체를 이해할 수 없어 어떤 식으로 접근해야 할 지 오리무중이다) 이제는 난이도를 중심으로 해결되는 대로 포스팅할 예정이다.
100번대 이후 문제를 풀어보니, 난이도 5%도 문제대로 하면 코딩은 간단하지만 말도 안되는 수준으로 실행시간이 많이 필요하게 되어, 수학지식을 바탕으로 최적화하기를 요구하고 있는 등 적절한 방법으로 해결하는 것이 쉽지 않았다. 이제는 진짜 파이썬 공부인지 수학 공부인지 알 수 없어지는 상황이 되었지만, 그래도 최대한 해결해 볼 예정이다.
In the game, Monopoly, the standard board is set up in the following way:
A player starts on the GO square and adds the scores on two 6-sided dice to determine the number of squares they advance in a clockwise direction. Without any further rules we would expect to visit each square with equal probability: 2.5%. However, landing on G2J (Go To Jail), CC (community chest), and CH (chance) changes this distribution.
In addition to G2J, and one card from each of CC and CH, that orders the player to go directly to jail, if a player rolls three consecutive doubles, they do not advance the result of their 3rd roll. Instead they proceed directly to jail.
At the beginning of the game, the CC and CH cards are shuffled. When a player lands on CC or CH they take a card from the top of the respective pile and, after following the instructions, it is returned to the bottom of the pile. There are sixteen cards in each pile, but for the purpose of this problem we are only concerned with cards that order a movement; any instruction not concerned with movement will be ignored and the player will remain on the CC/CH square.
The heart of this problem concerns the likelihood of visiting a particular square. That is, the probability of finishing at that square after a roll. For this reason it should be clear that, with the exception of G2J for which the probability of finishing on it is zero, the CH squares will have the lowest probabilities, as 5/8 request a movement to another square, and it is the final square that the player finishes at on each roll that we are interested in. We shall make no distinction between "Just Visiting" and being sent to JAIL, and we shall also ignore the rule about requiring a double to "get out of jail", assuming that they pay to get out on their next turn.
By starting at GO and numbering the squares sequentially from 00 to 39 we can concatenate these two-digit numbers to produce strings that correspond with sets of squares.
Statistically it can be shown that the three most popular squares, in order, are JAIL (6.24%) = Square 10, E3 (3.18%) = Square 24, and GO (3.09%) = Square 00. So these three most popular squares can be listed with the six-digit modal string: 102400.
If, instead of using two 6-sided dice, two 4-sided dice are used, find the six-digit modal string.
표준 보드 게임인 '모노폴리'는 위 그림과 같이 구성된다.
플레이어는 GO에서 시작하고, 육면체 주사위 2개를 굴려 나온 값만큼 시계방향으로 진행한다. 추가 규칙이 없으면 각 자리를 방문할 확률은 2.5%로 동일하다. 그러나, G2J(감옥으로 가시오), CC(보물상자), CH(기회)를 방문하면 확률은 바뀐다.
G2J를 방문하거나, CC, CH에 있는 한 장의 카드를 뽑으면 플레이어는 감옥으로 가야한다. 플레이어가 같은 숫자를 3번 연속으로 굴리지 못하면, 3번째 굴린 결과까지는 진행하지 못하고, 감옥으로 곧장 가게 된다.
게임을 시작할 때, CC, CH카드는 섞어 둔다. 플레이어가 CC, CH에 도착하면 각 파일 가장 위에 있는 카드를 뽑아, 지시사항을 따르고, 뽑은 카드는 가장 파일 가장 아래에 둔다. 각 파일에는 16개 카드가 있지만, 이번 문제의 목적을 위해 이동을 명령하는 카드만 고려하고, 이동과 관련없는 카드는 무시되고 플레이어는 CC/CH 자리에 남아있게 된다.
이번 문제의 핵심은 특정 자리를 방문하게 될 것을 고려하는 것이다. 즉, 주사위를 굴린 후 특정 자리를 끝낼 확률을 말한다. 이런 이유로 끝낼 확률이 0인 G2J를 제외하고, CH는 5/8이 다른 자리로 이동하게 하므로 가장 낮은 확률을 가지고, 플레이어가 각 롤을 끝낼 때 우리가 관삼가지는 마지막 자리이다. 우리는 감옥의 단순 방문과 감옥으로 보내는 것에 차이를 두지 않을 것이고, 다음 순서에 나오기 위해 지불할 것이라 가정하고 "감옥에서 나오기 위한" 같은 숫자를 요구하는 규칙 또한 무시할 것이다.
GO에서 시작해서 각 자리에 번호를 00에서 39까지 매기면, 대응하는 자리 집합을 2자리 문자열을 결합하여 만들수 있다.
통계적으로, 가장 인기 있는 자리 3개를 순서대로 보면, 10번 자리인 감옥(6.24%), 24번 자리인 E3(3.18%), 0번 자리인 GO(3.09%)이다. 이 셋은 가장 인기있는 자리이고 6자리 숫자로 표현하면 102400이다.
육면체 대신 사면체 주사위를 굴릴 경우 (가장 인기있는 3자리를 결합한) 6자리 숫자를 구하시오.
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부루마불이라 부르는 모노폴리를 단순화하여 문제를 만든 것인데, 문제에서 요구한 조건을 정리하면 다음과 같다.
주사위 결과에 따라 이동하는데, 같은 숫자가 3번 나오면 감옥으로 이동, 보물상자(CC)와 기회(CH)에서는 뽑은 카드 결과에 따라 이동, G2J에 가면 감옥으로 이동한다. 그 외 모노폴리에 있는 부동산 구매 등은 생략하고 이동 중심으로만 했으며, 감옥을 빠져나오는 조건도 따로 두지 않았다.
가장 많이 방문하는 3곳을 구하라는 것인데, 어떻게 할 것인지 고민하다가 주사위 2개를 랜덤하게 굴리는 형태로 많은 횟수를 실제 게임을 해서 방문하는 장소를 카운트하는 형태로 구하기로 했다. 나중에 찾아보니 이것을 몬테 카를로 방법이라 부른다고 한다.
여기까지 정리되고 나니 구현하는 것은 그렇게 어렵지 않았다. 다만, 기본값 설정 등에 있어 명확하게 하지 않은 부분에서 잘못 동작되어 처음에는 오답이 나왔었다.
If a box contains twenty-one coloured discs, composed of fifteen blue discs and six red discs, and two discs were taken at random, it can be seen that the probability of taking two blue discs, P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2.
The next such arrangement, for which there is exactly 50% chance of taking two blue discs at random, is a box containing eighty-five blue discs and thirty-five red discs.
By finding the first arrangement to contain over 1012 = 1,000,000,000,000 discs in total, determine the number of blue discs that the box would contain.
파란색 디스크 15장, 빨간색 디스크 6장으로 구성된 21장의 디스크가 있는 박스에서, 디스크 2장을 랜덤하게 선택하는 경우 2장의 파란색 디스크를 선택할 확률은 P(BB)=(15/21)x(14/20)=1/2이다.
동일한 구성으로 2장의 파란색 디스크를 랜덤하게 선택할 확률이 50%인 경우는 85장의 파란색 디스크와 35장의 붉은색 디스크로 구성된 경우이다.
총 1012 = 1,000,000,000,000장 이상 디스크가 있을 때 동일한 구성으로 2장의 파란색 디스크를 랜덤하게 선택할 확률이 50%가 되는 경우는, 파란색 디스크가 몇 장 있을 때인가?
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(중학생 이하 수준이지만) 갈수록 수학문제가 되고 있는 상황인데, 근의 공식을 이용하여 해결하기로 결정했다. 이전에 √를 바로 사용하면서 소숫점이 이하 자리 숫자가 있음에도 값이 너무 작아 정수로 판정되는 오류를 겪었기 때문에, 큰 수이지만 일단 제곱수인 상태에서 적용해 보기로 했다.
확률이 1/2일 때 총 디스크 수를 c, 파란색 디스크 수를 x라고 하면, P(BB)=(x/c)*((x-1)/(c-1))=1/2이며, 이것을 전개하면 2x2-2x=c(c-1), 2x2-2x-c(c-1)=0이 된다. 여기에 근의 공식을 적용하면 x=(2+(4+4*2*c(c-1))**0.5)/2*2가 되고, 루트 기호 부분 기준으로 정리하면 (4+8c(c-1))**0.5=4x-2이 되고, 양쪽을 제곱하여 루트를 없애면 1+2c(c-1)=(2x-1)2가 된다. 수학 기호를 html로 표기하는 방법이 익숙하지 않아 가독성이 나쁘게 적었지만 이와 같은 형태로 방정식을 구할 수 있다.
여기에서 c는 1조에서 시작하고, x는 좌변의 값보다 조금 작은 값이 나올 값에서 시작해서 양 변이 같을 때까지 c와 x값을 계속 키우면서 찾는 작업을 했다. 양변을 크게 보면 8*c^2와 16*x^2가 있어서 x의 시작값을 1부터 하지 않고 c/√2부터 시작해서 추적했다. 실행이 생각보다 오래 걸려서 상황을 보니 이 방법으로는 답을 구할 수 없을 것 같았다.
먼저 방법으로는 해결되지 않아 인터넷을 검색해 보니, 연분수와 비슷하게 x, c의 이전값을 통해 새 값을 찾을 수 있다고 되어 있었다. 문제에서는 (x, c) 값이 (15, 21), (85, 120)인 경우가 있었는데, (3, 4)인 경우에도 확률이 파란색 2개가 연속으로 나올 확률은 1/2가 된다.
이 (x,c)값 3쌍을 이용하여 x, c값의 다음 항에 대한 일차방정식을 유추해봤고(xn=3x+2c-2, cn=4x+3c-3), 그 공식으로 만든 숫자로 다음 값인 (493, 697) 또한 파란색 2개가 나올 확률이 1/2임을 확인해서 해당 공식을 통해 빠른 시간 내에 답을 구할 수 있었다.
일차방정식을 빨리 유추하기 위해 엑셀을 사용했는데, 엑셀로는 12자리 이상 숫자를 확인할 수 없다는 것 또한 알게 되었다.
Comparing two numbers written in index form like 211 and 37 is not difficult, as any calculator would confirm that 211 = 2048 < 37 = 2187.
However, confirming that 632382518061 > 519432525806 would be much more difficult, as both numbers contain over three million digits.
Using base_exp.txt (right click and 'Save Link/Target As...'), a 22K text file containing one thousand lines with a base/exponent pair on each line, determine which line number has the greatest numerical value.
NOTE: The first two lines in the file represent the numbers in the example given above.
지수로 표현된 두 수 211과 37을 비교하는 것은 어렵지 않다. 계산기를 이용하면 211 = 2048 < 37 = 2187을 확인할 수 있다.
그러나, 3백만 자릿수 이상이 되는 두 수가 632382518061 > 519432525806 인 것을 확인하는 것은 상당히 어렵다.
1천 개 이상의 밑과 지수 쌍이 각 행에 있는 22K 크기의 텍스트 파일 base_exp.txt (오른쪽 클릭하고 다른 이름으로 링크 저장) 중 가장 큰 값을 가지는 숫자를 찾으시오.
주의: 파일의 첫 두 줄은 위의 예시에 있는 숫자이다.
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정직하게 프로그래밍 했더니 역시나 OverflowError: math range error라는 에러메시지를 보게 되었다. 급격하게 커지는 지수를 따라가지 않고 계산할 방법은 이제는 까맣게 잊어버린 log를 다시 찾아보는 방법밖에 없어 보인다.
로그의 지수법칙(logab=bloga)을 이용하여 동일한 밑인 상황에서 base_exp 파일의 밑과 지수를 로그에 대입하면(문제의 예시에서 518061*log632382와 525806*log519432를 비교하는 형태) 어렵지 않게 해결 가능하다.
By replacing each of the letters in the word CARE with 1, 2, 9, and 6 respectively, we form a square number: 1296 = 362. What is remarkable is that, by using the same digital substitutions, the anagram, RACE, also forms a square number: 9216 = 962. We shall call CARE (and RACE) a square anagram word pair and specify further that leading zeroes are not permitted, neither may a different letter have the same digital value as another letter.
Using words.txt (right click and 'Save Link/Target As...'), a 16K text file containing nearly two-thousand common English words, find all the square anagram word pairs (a palindromic word is NOT considered to be an anagram of itself).
What is the largest square number formed by any member of such a pair?
NOTE: All anagrams formed must be contained in the given text file.
단어 CARE의 각 글자를 각각 1, 2, 9, 6으로 바꾸면 1296 = 362의 제곱수가 된다. 여기서 주목할만한 점은, 동일한 디지털 교체 방법인 애너그램(anagram, 철자 순서 바꾸기)을 적용한 RACE 또한 9216 = 962로 제곱수가 된다. CARE(와 RACE)는 제곱 애너그램 쌍이라 부르는데, 단어는 0으로 시작하지 않고 서로 다른 글자는 같은 디지털 값을 가지지 않도록 한다.
약 2천개 일반 영어 단어가 있는 16K 텍스트 파일인 words.txt (우클릭하고 다른 이름으로 저장)을 이용하여 모든 제곱 애너그램 쌍을 찾으시오 (회문 형태는 자신의 애너그램이 아니다).
이 쌍에서 구할 수 있는 가장 큰 제곱수는 무엇인가?
주의: 모든 애너그램은 제시된 텍스트 파일에서 구해야 한다.
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문제를 해결할 때마다 드는 생각이지만, 요즘 언어 특성에 맞는 간결하면서도 빠른 접근방법이 있을 것 같은 느낌은 들지만 정확하게 모르기 때문에 정공법이라 할 수 있는 시간이 걸려도 단계별로 구현해 나가는 형태로 해결하고 있는 것 같다.
이 문제를 해결하려면, 일단 파일을 읽어 단어 리스트를 만들고, 그 중 애너그램이 될 수 있는 단어를 찾고, 단어 길이만큼의 제곱수 목록을 만들어서, 애너그램 후보 단어 그룹과 제곱수 목록이 매치되는 최대값을 찾는 4가지 과정이 필요했다.
파일을 읽어 단어 리스트를 만드는 것은 프로젝트 오일러 문제를 풀면서 몇 번 해봤기 때문에 기존에 작성한 것을 활용해서 따옴표만 처리해주면 되었다.
애너그램이 될 수 있는 단어를 찾기 위해, 각 단어를 알파벳 순으로 정렬했을 때 같은 값을 가지는 단어를 묶어 리스트를 만들었다.
제곱수 목록을 만들기 위해, 애너그램이 될 수 있는 단어들의 길이를 측정해서 최소 길이부터 최대 길이 사이에 있는 제곱수 목록을 만들었다. 조금 편하게 쓸 수 있을 것 같아 제곱수 목록을 단어 길이별로 만들었다.
애너그램 후보 단어 그룹과 제곱수 목록을 매치시키는 것을 구현하는 부분이 제일 어려웠는데, 실제 구현한 코드도 처음 생각한 모든 기능을 반영한 것은 아니지만 일단 정답을 맞췄기에 넘어가기로 했다. 문제의 예시로 설명하면, 4자리 제곱수의 1296, 애너그램 대상이 되는 CARE, RACE를 읽어서 애너그램 숫자 9216을 만들고 그것이 4자리 제곱수 목록에 있는지, 각 단어그룹을 해당 자리 제곱수 목록만큼 2중 반복문을 통해 찾도록 했는데 간단히 구현한 만큼 문제가 있었다.
SHEET, THESE의 경우 E의 자리 값이 같아야 되고, 그 값이 THESE로 되었을 때 같은 자리에 있어야 한다. SHEET의 숫자가 12334이면, THESE는 42313이 되어야 되는데 가지고 있는 실력으로는 그렇게까지 정교하게 만들어 낼 수가 없었다. 그래서 고민끝에 아이디어를 낸 것이 두 숫자의 종류가 같고, 같은 숫자 최대값이 애너그램의 같은 문자 최대값과 같은 경우로 조건을 추가했는데 답을 구할 수 있었다.
문제에서 요구한 기능을 모두 구현한 것은 아니지만 답은 구할 수 있어서 아쉽지만 기뻤다. 코드가 깔끔해지 못하지만 실행시간이 짧은 것은 의외였다.